realDrinker: 0.999...

0.999... とは何か [編集]

0.999... は十進法で書かれた数であり、これが 1 に等しいという最も単純な証明のいくつかは、この記数法の便利な算術的性質に依存している。十進小数のほとんどの計算（加法、減法、乗法、除法、大小比較）が整数の場合と同じ "桁レベルの操作" により為されている。また、整数の場合と同様に、ある桁が異なる任意の2つの有限小数は（あとに 0 がずっと続く場合を無視して）異なる数を表す。特に、"0.999...9" と表される任意の数（9 が有限個続いているだけのもの）は厳密に 1 より小さい。

省略記号 "..." の意味は厳密に特定されなければならない。ここでの "..." の用法は、言語もしくは 0.999...9 における "..." の用法とは異なる。後者の用法は、有限な部分を明言しなかったり省略したりする用法である。循環小数に対して用いるときには、"..." はある無限な部分を明言しないことを意味する。特に、0.999... は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...} の極限（これは、k= 1, 2, 3, ..., ∞ に対し 9 × 0.1^k の形をしたすべての項の和に等しい）を表している。0.999... の誤った解釈は、これが 1 に等しいことに関する誤解の原因となる。

等式 0.999... = 1 の証明はいろいろある。これを代数的に示す前に、『2つの実数が等しいのは、これらの差（の絶対値）が（第3の）正の実数に等しくない場合に限る』ことに注意する。1 と 0.999... との距離は、任意に与えられた任意の正の数より小さい（これは上記の数列で定義される閉区間と三角不等式を用いて形式的に証明できる）。したがって、この距離は 0 であり、それゆえ 1 と 0.999... は等しい。このことを用いると例えば 0.333... = ¹/₃ である理由も説明することができる。